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[김정호의 4차혁명 오딧세이] '인공지능 시대' 수능 수학이 가야할 길

기사입력 : 2019년02월25일 09:09

최종수정 : 2019년03월02일 09:12

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공학을 위한 수학 40년의 탐험

필자가 중고등학교 때 가장 좋아했던 과목이 수학이었다. 그런 배경으로 이과를 선택하고 나중에 공대로 진학하게 된다. 중학교 때는 직각 삼각형 해석에 필요한 ‘피타고라스 정리’를 증명한다고 방학 때 끙끙했던 기억도 난다. 고등학교 때는 수학책으로 ‘수학의 정석’과 ‘해법 수학’ 문제를 풀면서 좋아했다. 특히 수업 중간의 쉬는 시간이면 어려운 문제 1개씩 풀면서 10분을 지내기도 했다.

      김정호 교수

대학 입학 시험에는 본고사 수학 시험을 치렀다. 필자의 기억에 8개의 문제가 나왔는데 1개 문제를 손 대지 못하고 답을 구하지 못했다. 나중에 대학을 들어가고, 전공을 하면서 보니 아주 간단한 문제였는데, 고등학생에게는 조금 어려운 방법으로 풀어야 한다.

그 문제는 f(x)= sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+…. +sin(nx) 의 삼각함수 수열의 합을 구하는 문제였다. 그냥 삼각함수 합의 공식으로 풀려면 불가능한데, 복소수를 이용한 삼각함수의 정의를 이용하면 쉽게 풀 수 있다. 삼각함수는 지수 함수를 복소수로 표현하면 되고, 복소수 지수함수 수열의 덧셈은 간단한 수식으로 구해진다. 이 문제를 풀려면, 삼각함수, 복소수, 수열을 개념을 통합해야 하는 문제였다.

대학에 들어 가서도 전공 필수를 제외하고 수학과, 물리학과, 전산학과 과목들을 두루 수강했다. 그 중에서 수강한 수학과목이 공업수학(Engineering Mathematics), 선형대수(Linear Algebra), 미분방정식(Differential Equation), 미분기하학(Differential Geometry) 등의 과목들이었고, 더해서 개인적으로는 물리수학(Mathematics for Physics), 복소수 해석(Complex Analysis) 책을 사서 혼자 공부하기도 했다. 그러고 보면 수학 과목을 좋아했던 것은 사실로 보인다.

이러한 중학교, 고등학교, 대학교에서 수학을 통해서 논리력, 사고력, 상상력, 창의력을 키워온 것 같다. 하지만 공학의 전문 영역에 들어온 지난 30년 동안에 이러한 고급 수학을 직접 쓴 경우는 거의 없었다.

매일 매일의 연구에는 아주 간단한 미적분, 벡터, 행렬 곱셈 정도만 쓰인다. 그것도 개념의 설정이 중요하고 융합이 중요하다. 미적분도 sin(x) 의 미분이 cos(x) 라는 정도만 필요하다. 그보다 수학의 개념을 잘 파악하는 것이 중요하다. 복잡하고 어려운 수학은 컴퓨터가 다 풀어 준다. 그래서 점점 수학용 소프트웨어인 MATLAB(수학, 그래픽, 프로그래밍 소프트웨어)이나 컴퓨터와 지내는 시간이 점점 늘어나고 있다.

1978년 1월 신문에 실린 고등학교의 대표적인 수학 참고서 ‘해법 수학’ 광고, [출처=네이버 블로그]
1979년 7월 신문에 실린 고등학교의 대표적인 수학 참고서 ‘수학의 정석’ 광고, [출처=네이버 블로그]


4차 산업혁명 인공지능에 필요한 수학

4차 산업혁명을 맞아 인공지능이 큰 주제로 등장하고 있다. 인공지능 기술이 가져올 미래 사회의 변화는 상당히 크게 나타날 전망이다. 1차 산업혁명이 노동을 대체한 ‘기계 혁명’ 이라고 한다면, 2차 산업혁명은 전기에너지 기반한 ‘대량생산 혁명’으로 불릴 수 있고, 3차 산업혁명은 인터넷 기초한 ‘정보혁명’ 이라면 4차 산업혁명은 빅데이터를 기반한 ‘인공지능 혁명’으로 생각한다.

그럼 인공지능 알고리즘을 개발하거나 이용하는 개발자 입장에서 필요한 수학은 무엇일까? 아쉽게도 대부분의 인공지능 개발자와 사용자에 필요한 수학은 고등학교 수준의 ‘행렬’ 과 ‘미적분의 개념’ 정도이다. 고등학교 교과서 내용의 개념만 이해해도 된다고 생각한다.

빅데이터 시대의 디지털 데이터 자체가 행렬이다. 영상 이미지 데이터도 그렇고 빅데이터를 저장하는 반도체 메모리도 2차원적인 배열이다. 행렬 곱셈, 덧셈 원리와 절차만 알면 된다. 이 내용은 잘 설명하면 중학생도 이해 할 수 있다. 다양한 신경세포(Node)와 연결층(Layer)을 머리 속에 상상의 연결선 그래프로 그릴 수 있으면 된다. 연결선 그래프를 행렬 수식으로 표현할 수 있으면 된다. 이 과정은 딥러닝 구조의 설계와 학습 과정 설계에서 사용된다.

인공지능은 학습을 통해서 지능이 증가하게 된다. 그 학습은 빅데이터를 이용하게 되고, 그래서 데이터가 클수록 인공지능이 똑똑해 진다. 이러한 인공지능의 종류인 지도학습(Supervised Learning)에서는 학습과정에서 데이터를 입력하고 정답을 가르치게 된다. 정답이 틀리고 오차가 생기면 그 오차를 줄이기 위해서 인공지능 연결선의 가중치 값(Weight)들을 고쳐 나가게 된다.

이 과정을 역방향 학습(Back Propagation)이라고 한다. 이때 오차를 최소화 하기 위해서 미분과 함수 기울기의 개념이 들어간다. 신경세포에 들어가는 함수를 활성화 함수(Activation function)라고 하는데 이 함수의 기울기(Gradient) 값이 사용된다. 그런데 이 활성화 함수도 간단한 삼각함수와 지수 함수의 조합으로 이루어져 있다. 그러니 이 활성화 함수의 미분도 고등학교 수학의 범위를 크게 벗어나지 않는다. 인공지능 프로그램을 사용하는 입장에서는 고등학교 수학의 개념만 잘 알아도 된다.

그런데 고급 인공지능 알고리즘에 확률과 통계 고급 수학이 쓰이기도 한다. 인공지능에 모든 경우의 수를 학습하기 어렵기 때문에 확률과 통계의 힘을 필요로 하는 경우가 많기 때문이다. 아예 수학 수식 해를 구하기 보다는 난수(Random Number)를 만들어 내고 이 난수를 이용해서 수학의 답을 구하기도 한다. 세상에는 정확한 수식으로 답을 구할 수 없는 문제가 많기 때문이다. 그래서 인공지능의 기초 혁신에는 확률과 통계가 더 중요한 수학이 된다. 인공지능 수학자가 되려면 대학, 대학원에서 확률과 통계를 전공해도 좋다.

인공지능 알고리즘 학습 과정(Back Propagation)에서 오차를 줄이기 위한 최소점 (Global minimum)찾기 미분 과정의 설명, [출처=rasbt.github.io]]
인공지능에 사용되는 활성화 함수의 다양한 종류, [출처=Toward Data Science]


갈 길을 잃은 대입 수능 수학 시험

인공지능을 이용한 프로그램을 짜다가 보면, 개발자는 개념의 설정과 구조의 설계를 하고 실제 수학 문제는 전용 소프트웨어가 풀어준다. 논리적 사고력을 바탕으로 일의 순서를 정하고 그림이나 차트로 표현한다. 그리면 쉽게 컴퓨터 코딩으로 전환 가능하다. 그러니 개념과 절차의 설계, 구조의 설정이 중요하다. 컴퓨터는 복잡한 수학 문제, 많은 영의 수학 계산을 인간보다 휠씬 빠르고 정확하게 푼다. 그러니 양과 속도에서 인간이 경쟁하기 어렵다. 그래서 인간의 생각의 힘이 중요하다.

최근 대학 입학 수능 문제를 보면, 학생의 변별력을 위해서 그리고 입시 공정성을 위해서 빠르게 많은 문제를 푸는 능력이 중요한 것으로 보인다. 이제 4차 산업혁명 시대에는 그것은 컴퓨터가 할 일이다. 현재의 대학 입학 수능 시험 문제 출제 의도는 4차 산업혁명과 인공지능 시대를 역행한다. 지금의 대학 입시 수학 교육과 문제 풀이 방식은 오히려 맑고 밝은 두뇌를 가진 우리 청소년의 창의적인 뇌를 점점 퇴화시키고 있다.

2018년 수능 수학 문제 [출처=m.metroseoul.co.kr]

 

joungho@kaist.ac.kr   


[김정호 카이스트 전기 및 전자공학과 교수]

 

 

[뉴스핌 베스트 기사]

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광복군, 일본군 무장해제 "항복사실 모르느냐? 변상문의 '화랑담배'는 6·25전쟁 이야기이다. 6·25전쟁 때 희생된 모든 분에게 감사드리고, 그 위대한 희생을 기리기 위해 제목을 '화랑담배'로 정했다. 우리는 그들에게 전의(戰意)가 없는 것을 보이기 위해 기관단총을 모두 어깨에 걸쳤다. 그러고도 만일을 위해서 각각 산개하면서 뛰어내리기 시작했다. 드디어 내 차례가 왔다. 몸을 날렸다. 아. 그때 그 바람 냄새, 그 공기의 열기, 아른대는 포플러의 아지랑이, 그리고는 아무것도 순간적이었지만 보이지 아니했다. 그러나 어쩐 일인가? 우리 주변엔 돌격 태세에 착검한 일본군이 포위하고 있었다. 워커 구두 밑의 여의도 모래가 발을 구르게 했다. 코끼리 콧대 같은 고무관을 제독총에 연결한 험상궂은 방독면을 뒤집어쓴 일본군이 차차 비행기를 중심으로 원거리 포위망을 좁혀오고 있었다. 너무나도 위험한 상황이었다. 이것이 그리던 조국 땅을 밟고 처음 맞은 분위기였다. 동지들은 눈빛을 무섭게 빛내면서 사주경계를 했다. 그러나 아직 기관단총을 거머쥐지는 아니했다. 여의도의 공기가 움직이지 않는 고체처럼 조여들어 왔다. 뿐만 아니었다. 타고 온 C46형 수송기로부터 한 50여m 떨어진 곳의 격납고 앞에는 실히 1개 중대나 되는 군인들이 일본도를 뽑아 든 한 장교에게 인솔되어 정렬해 있었다. 그 앞에는 고급장교인 듯한 자들이 한 줄 또 섰고, 장군 몇 명도 있는 듯했다. 그러나 무엇보다도 8월 18일 한낮의 그 뜨거운 여의도 열기가 우리를 더욱 긴장시켰다. 격납고 뒤에까지 무장한 군인이 대기하고 있었다. 중형전차의 기관포도 이쪽을 향하고 있었다. 환호하는 광복군. [사진= 국사편찬위원회] 비행장 아스팔트 위엔 한여름의 복사열이 그 위기의 긴장처럼 이글대고 있었다. 어느새 우리는 땀에 젖어 있었다. 기막힌 침묵이 십여 분이나 지났다. 그러나 그들은 어떤 행동도 취해 오지 않았다. 마침내 우리가 발걸음을 옮겼다. 우리는 일본군 고급 장교들이 늘어선 쪽으로 한걸음 씩 움직였다. 각자 산개, 조심하라! 누군가가 이렇게 나직하게 말했다. 서해 연안으로 비행기가 고도를 낮출 때 누군가가 유서를 쓰던 일이 이 순간 내 머릿속에서 상기되었다. 일본군 병사들은 우리가 다가서자 의외로 포위망을 풀 듯이 비켜섰다. 우리는 아직 기관단총을 어깨에 멘 그대로였다. 일본군이 길을 열어주자, 그들도 일본군 육군 중장을 선두로 한 장교단이 우리 쪽으로 오기 시작했다. 그가 바로 조선주차군사령관 죠오쯔끼(上月良夫)였다. 쬬오쯔기는 그의 참모장 이하라 소장과 나남 사단장과 참모들을 뒤로 거느렸다. 우리도 좌우로 벌려 섰다. 쬬오쯔기가 「나니시니 이라시따노?(무슨 일로 왔소?)」말문을 열었다. 퍽 야무지게 보였다. 우리는 말 대신 영등포 상공에서 뿌리다 남긴 선전 전단을 내밀어 주었다. 우리의 임무가 일본어와 우리말로 적힌 전단이었다. 거긴 또 우리가 이렇게 들어오게 된 사연도 적혀있었다. 우리는 한 장씩 그 전단을 다른 일본군 장교들에게 나누어 주었다. 쬬오쯔끼는 이를 받아 읽고, "일본은 정전만 한 상태이니 일단 돌아갔다가 휴전 조약이 체결된 다음에 재입국하라"라고 말했다. 그러면서 은근히 위협했다. 자기네 병사들이 꽤 흥분되어 있으니, 만약 돌아가지 않으면 그 신변 보호에 안전책임을 지기가 어렵다는 분위기라고 했다. 이에 이범석 장군이 "네 놈들의 천황이 이미 연합국에 무조건 항복한 사실을 모르느냐? 이제부터는 동경의 지시가 필요 없다는 것을 알아야 한다"라고 맞섰다. 그러나 쉽사리 양보하지 않았다. 옥신각신 말이 몇 번 건너 왔다 갔다. 갑자기 쬬오쯔끼는 한 일본군 대령에게 일을 처리하라고 지시했다. 그러면서 그는 동경서 손님이 오기로 되어 있어 마중을 나와 있던 참이란 말을 하고는 물러가 버렸다" 이범석 장군은 일본군 측에 "조선 총독을 만나 담판 짓겠다'라고 요구했으나 거절당했다. 일본군 무장해제 임무를 띠고 국내로 들어 온 '광복군 국내정진군'은 아무런 소득도 올리지 못한 채 다음 날 8월 19일 14:30분 여의도 기지를 이륙하여 중국으로 돌아갔다. 광복군은 미군정이 시작되고 나서 한참이나 지난 다음에 개인 자격으로 귀국할 수밖에 없었다. 조짐이 좋지 않았다. / 변상문 국방국악문화진흥회 이사장   2025-09-29 08:00
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중국 전기차 주행거리 두배 증가 배터리 개발 [베이징=뉴스핌] 조용성 특파원 = 중국이 에너지 밀도를 두 배 증가시킬 수 있는 전고체 배터리를 개발해 낸 것으로 나타났다. 중국 칭화(淸華)대학 화학공학과의 연구팀은 '음이온이 풍부한 용매화 구조 설계'를 개발해 냈으며, 이를 기반으로 불소 함유 폴리에테르 전해질을 성공적으로 만들어냈다고 중국 관찰자망이 30일 전했다. 해당 연구 성과는 논문 형식으로 국제 학술지인 네이처에 등재되었다. 연구진이 만들어낸 폴리에테르 전해질은 고체이며, 연구팀은 해당 전해질을 사용하여 전고체 배터리를 제작했다. 제작된 전고체 배터리는 604Wh/kg의 에너지 밀도를 기록했다. 이는 현재 리튬 이온 배터리의 에너지 밀도가 150~320Wh/kg인 점을 감안하면 에너지 밀도가 두 배 이상 높아진 것이다. 동일한 무게의 배터리이지만 해당 전해질을 사용한 전고체 배터리는 두 배 이상의 전력을 충전할 수 있는 셈이다. 이론적으로 전기차의 1회 충전 주행 거리가 두 배 증가할 수 있게 된다. 현재 500km가량을 주행할 수 있는 전기차가 1000km를 주행할 수 있게 된다. 해당 전고체 배터리는 안전성 테스트도 통과하였다. 못을 박아도 화재와 폭발이 일어나지 않았다. 또한 120도의 높은 온도의 박스 안에 6시간 동안 방치되었지만, 연소나 폭발이 일어나지 않았다. 또한 500회 이상 충방전을 거치면서도 에너지 저장 용량은 안정적으로 유지되었다. 연구진이 만들어낸 전고체 배터리가 상용화된다면 많은 분야에서 활용이 가능해진다. 전기차의 주행 거리는 두 배 증가하며, 드론의 비행 거리도 두 배 증가하게 된다. ESS(에너지저장장치) 역시 부피당 저장 용량을 크게 끌어올리게 되며 ESS 소형화가 가능해진다. 칭화대 연구진이 개발한 전고체 전해질의 도식도 [사진=네이처 캡처] ys1744@newspim.com 2025-09-30 10:35
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긍정 영향 종목

  • Lockheed Martin Corp. Industrials
    우크라이나 안보 지원 강화 기대감으로 방산 수요 증가 직접적. 미·러 긴장 완화 불확실성 속에서도 방위산업 매출 안정성 강화 예상됨.

부정 영향 종목

  • Caterpillar Inc. Industrials
    우크라이나 전쟁 장기화 시 건설 및 중장비 수요 불확실성 직접적. 글로벌 인프라 투자 지연으로 매출 성장 둔화 가능성 있음.
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