문제의 궁극적 해법을 결정하는 '경계 변수'

대학교와 대학원에선 공학문제 연습에 있어 미분 방정식 문제를 가장 많이 푼다. 전자공학의 전자파의 전파 문제, 안테나 설계 문제, 반도체 내의 전자 존재 문제, 반도체 내의 에너지 문제, 기계공학에서의 진동 문제, 마찰문제 등이 이에 해당한다.

이러한 연습 문제에선 기술과 자연 내의 현상을 대부분 아주 간단한 선형 2차 미분방정식으로 모델을 하고, 그 수학식으로 해를 얻는다. 이를 통해 어떤 솔루션이 존재하는 지, 어떤 물리적 의미를 갖는 지를 해석한다. 하지만 이러한 접근은 한계가 있다. 실제 자연 문제는 비선형적인 경우가 많다. 

필자의 연구실에선 하이브리드 전기 자동차의 전자파 문제를 컴퓨터로 계산한 적이 있다. 자동차의 경우 나노 미터급 크기의 반도체 구조에서 시작해 자동차 전체 바디 사이즈인 미터 크기까지 큰 크기의 범위 내에서 동시에 컴퓨터로 계산한다. 결국 컴퓨터를 이용해 시뮬레이션할 때, 반도체도 모델해야 하고, 케이블, PCB, 샤시, 바퀴까지 포함해서 계산해야 한다. 컴퓨터로 계산한다 해도 2차 미분방정식이 이 범위이면 계산이 매우 어렵다. 아주 다양한 컴퓨터 계산 알고리즘을 사용한다. 

그런데 이러한 미분방정식의 해는 좌표계에 따라 다른 함수 해를 갖는다. 예를 들어 (x,y,z)로 표현되는 직각 좌표계의 경우 정현파 삼각함수인 sin(x), cos(x) 등의 해를 갖는다. 그래서 시간 또는 공간에 따라 주기적으로 변화하는 함수 해를 갖는다. 

그런데 각각의 좌표계에는 미분방정식의 무한대의 해가 존재하며, 이 무한대의 해에서 특정 해답은 바로 '경계 조건'(Boundary condition)에 의해 결정된다. 직각 좌표계의 경우 (x, y, z) 세 축 방향으로 맨 끝의 길이와 상태가 3가지 경계 조건이 된다. 이 경계 조건이 결정되면 특정한 주파수, 에너지의 정현파 삼각함수가 최종 해가 된다.

여기서 결정되는 특정한 주파수, 에너지 등은 연속적인 값이 아니라 뚝 뚝 끊어진 불연속 값을 갖는다. 따라서 미분방정식의 해와 특정 값은 최종적으로 경계 조건이 결정한다. 4차 산업혁명은 디지털 세계다. 그렇게 보면 4차 산업혁명은 경계 조건을 만족하는 미분방정식의 해가 될 수 있다.

한반도 운명을 결정할 수 있는 '경계 변수' 에 관심 가져야

한반도는 미국, 일본, 중국, 러시아 등 강대국들과 인접하고 있다. 우리는 항상 힘의 균형과 비균형 사이에서 생존해 왔다. 그 힘은 때론 대륙세력이 되기도 하고, 때론 해양세력이 되기도 한다. 최근 북한 핵 문제가 전면에 등장하면서 우리 주변의 경계 조건에 대해서 다시 한번 실감하고 있다. 한반도 주변의 경계 조건이 우리가 취할 수 있는 해를 정한다.

아메리카 대륙을 맨 처음 발견한 크리스토퍼 콜럼버스(아래 사진)는 동생인 바르톨로메오 콜럼버스와 지도 제작 일을 하고 있었다. 그런데, 그 당시 베스트셀러였던 동방견문록을 읽고 기존의 관념과는 다르게 지구는 둥글고 세상은 그다지 크지 않으며, 바다 서쪽 끝에는 낭떠러지가 아닌 무언가가 있을 것이라는 생각을 하게 됐다고 한다.

콜럼버스는 지구는 둥글테니까 서쪽으로 계속 항해를 하면 언젠가는 세계를 한 바퀴 돌아서 중국과 인도에 닿을 수 있으리라 믿었다. 그는 이사벨 1세의 후원으로 탐험을 시작할 수 있었다. 그리고 1492년 8월 3일 스페인 카디스를 떠나 3달뒤인 10월 12일 지금의 바하마 제도에 상륙한다.

역사를 돌이켜 보면 해상을 지배한 국가가 세계를 지배했다. 해상을 점유한 이후 무역 교류를 통해서 문화와 기술이 전달되고, 부를 축적하고 전쟁을 했다. 2차 세계 대전 중의 미국과 일본의 태평양 전쟁도 결국 태평양을 누가 점유할 것인가에 대한 '경계 조건' 전쟁이었다. 이처럼 많은 자연, 기술, 국가의 상태는 경계 조건에 의해서 결정된다.

지금 한반도는 경계 조건이 너무 좁다. 저 멀리 태평양, 인도양, 시베리아까지 넓어 지면, 우리가 취할 수 있는 해법이 다양할 것으로 생각한다. 아름다운 기타 줄 소리처럼, 기타 줄이 길어지고 굵어 지면, 웅장한 저음을 만들 수 있다. 4 차 산업혁명은 인공지능 빅데이터, 사물인터넷 등을 근간으로 세상이 바뀐다. 이러한 새로운 미분방정식에서 새로운 확장된 경계 조건이 되면 우리에게 새로운 기회가 된다. 경계 조건을 크게 확장할 필요가 있다.

<김정호 카이스트 전기 및 전자공학과 교수>

김정호 카이스트 교수